मान लीजिए f(x) = begin{cases} x sin left( fra | vedclass

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Question

(B) $x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम $\lim_{x 	o 0} f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं।दिया गया है $f(x) = x \sin \left( \frac{1}{x} ight) \sin \

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$x = 0$ पर सतत है लेकिन अवकलनीय नहीं

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(B) $x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम $\lim_{x 	o 0} f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं।दिया गया है $f(x) = x \sin \left( \frac{1}{x} ight) \sin \left( \frac{1}{x \sin \left( \frac{1}{x} ight)} ight)$.चूँकि $|\sin 	heta| \leq 1$,हमारे पास $|f(x)| = |x \sin \left( \frac{1}{x} ight) \sin \left( \frac{1}{x \sin \left( \frac{1}{x} ight)} ight)| \leq |x \sin \left( \frac{1}{x} ight)| \leq |x|$ है।जैसे $x 	o 0$,$|x| 	o 0$,इसलिए स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) के अनुसार,$\lim_{x 	o 0} f(x) = 0 = f(0)$ है। अतः,$f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है।अवकलनीयता की जाँच करने के लिए,हम $f'(0) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h 	o 0} \frac{h \sin \left( \frac{1}{h} ight) \sin \left( \frac{1}{h \sin \left( \frac{1}{h} ight)} ight)}{h} = \lim_{h 	o 0} \sin \left( \frac{1}{h} ight) \sin \left( \frac{1}{h \sin \left( \frac{1}{h} ight)} ight)$ का मान ज्ञात करते हैं।मान लीजिए $g(h) = \sin \left( \frac{1}{h} ight) \sin \left( \frac{1}{h \sin \left( \frac{1}{h} ight)} ight)$ है। जैसे $h 	o 0$,$\sin \left( \frac{1}{h} ight)$ $-1$ और $1$ के बीच दोलन करता है। पद $\frac{1}{h \sin \left( \frac{1}{h} ight)}$ भी दोलन करता है और मनमाने ढंग से बड़े मान लेता है,जिससे दूसरा साइन पद भी दोलन करता है। अतः,सीमा का अस्तित्व नहीं है।इसलिए,$f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है लेकिन अवकलनीय नहीं है।

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} x \sin \left( \frac{1}{x} \right) \sin \left( \frac{1}{x \sin \left( \frac{1}{x} \right)} \right), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$. तो $f(x)$ है:

Similar Questions

$f(0)$ का वह मान क्या होना चाहिए ताकि फलन $f(x)=(x+1)^{\cot x}$, $x=0$ पर संतत हो?

यदि फलन $f(\alpha) = \begin{cases} \frac{1-\cos 6 \alpha}{36 \alpha^2}, & \alpha \neq 0 \\ k, & \alpha=0 \end{cases}$ बिंदु $\alpha=0$ पर संतत है,तो $k$ का मान . . . . . . है।

किन बिंदुओं पर फलन $f(x) = \frac{x}{[x]}$,जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन है,असंतत है?

यदि $f(x) = \frac{\sin(\pi \cos^2 x)}{3x^2}$ जहाँ $x \neq 0$,$x = 0$ पर सतत है,तो $f(0) = $

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